[통계기초] 통계분석 : 통계적 추정 : 점추정, 구간추정

* 자료출저 및 참고강의

패스트캠퍼스 올인원 패키지(금융공학/퀀트) 장순용 강사님 인터넷 강의

명지대 산업경영공학과 이병기 교수님 품질관리 강의

 

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* 목차

통계분석 : 통계적 추정(점추정, 구간추정)

1. 통계적 추정의 원리

2. 추정량의 조건

3. 구간추정

4. 구간추정 : 모표준편차를 아는 경우

5. 구간추정 : 핵심적으로 이해할 부분

6. 구간추정 : 모표준편차를 모르는 경우

 

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1. 통계적 추정의 원리

- 통계적 추정 용어 정의

1) 점추정(point estimation)

점추정은 모수를 특정한 수치로 표현하는 것

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2) 구간추정(interval estimation)

구간추정은 모수를 최솟값과 최댓값의 범위로 추정하는 것

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3) 추정치(estimate)

모수를 추정하기 위해 선택된 표본을 대상으로 구체적으로 도출된 통계량

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4) 추정량(estimator)

표본에서 관찰된 값으로 추정치를 계산하기 위한 도출 함수

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- 예시 : 점추정과 구간추정 구분

=> 전체 20세 이상 성인의 1일 평균 수면시간을 아는 것인데, 답은 여러가지

      여러가지가 점추정, 구간추정

점추정 : a와 같이 하나의 값을 제시하는 것. 추정량을 사용해서 계산

구간추정 : b,c와 같이 구간을 제시하는 것. 그런데, 구간 추정은 상황에 따라서 달라짐.

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2. 추정량의 조건

- 추정량의 조건 종류​

좋은 추정량이 되기 위해서는 다음과 같은 조건 충족해야 함

1) 불편성 (unbiasedness)

2) 효율성 (efficiency)

3) 일치성 (consistency)

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- 추정량의 조건 : 불편성(평균)

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- 추정량의 조건 : 효율성(분산)

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- 추정량의 조건 : 일치성(표본크기)

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- 바람직한 점추정량의 조건

1) 평균 오차제곱 : 평균 오차제곱이 최솟값이어야 함.

2) 불편성 : 추정량이 모수와 같아야 함.

3) 일치성 : 표본의 크기가 모집단 규모에 근접해야 함.

4) 효율성(유효성) : 추정량의 분산이 최솟값이어야 함.

5) 충분성 : 표본이 모집단의 대표성을 가져야 함.

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3. 구간추정

- 점추정보다 구간추정을 사용하는 이유

점추정은 얼마나 정확한지 알 수가 없음

즉 조사자의 입장에서 오차를 줄이기 위해 명확한 수치를 제시하는 점추정 대신,

신뢰도를 제시하며 상한값과 하한값으로 모수를 추정하는 구간추정이 더 용이함

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- 신뢰구간 정의

신뢰구간 : 표본평균의 확률분포에 모평균이 신뢰수준 확률로 포함되는 구간

상한값과 하한값의 구간으로 표시되며, 신뢰수준을 기준으로 추정된 점으로부터

음(-)의 방향과 양(+)의 방향으로 하한과 상한을 표시.

 

- 모평균의 구간추정

1) 구간추정 개념정리

통계량을 바탕으로 신뤼구간(confidence interval)을 계산

중심극한정리에 의하면 표본평균은 근사적으로 정규분포를 따르고 표준화된 Z는 표준정규분포를 따름.

더불어 다음과 같이 정의 가능

신뢰수준 확률 : (1-α)

오차율 : α

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2) 구간추정 계산과정

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4. 구간추정 : 모집단의 표준편차를 아는 경우

- 구간추정 계산방법

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- Z에 대한 정의 : 표본정규분포의 분위수

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- 문제 예시

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5. 구간추정 : 핵심적으로 이해할 부분

- 모평균의 구간추정 원리

의문점을 던진다 "신뢰수준 확률이 높아야 좋은 것 아닌가?"

=> 오차율 α가 클수록 신뢰구간은 좁다. (조정 가능하지만 그대로 둠)

=> 표준편차가 작을수록 신뢰구간은 좁다. (조정 불가능)

=> 표본크기 n이 클수록 신뢰구간은 좁다. (조정 가능)

즉 표본크기를 키우면 오차율을 키우지 않고(신뢰수준 유지), 신뢰구간을 좁힐 수 있다.

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- 표본크기

W가 목표하는 신뢰구간의 폭이라고 한다면, 표본크기는 아래와 같이 산정

 

- 표준편차와 표준오차

1) 표준편차

표본의 산포도

표본들이 흩어져 있는 산포를 뜻함

표분의 분포 특성을 확인

2) 표본오차

표본평균의 산포도

표준오차가 줄어들수록 모수 추정이 정확

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6. 구간추정 : 모집단의 표준편차를 모르는 경우

- 구간추정 개념

표본의 표준편차를 이용해서 신뢰구간을 추정함.

표본표준편차를 이용한 신뢰구간은 모표준편차를 이용한 신뢰구간보다 틀릴 가능성이

더 크므로 신뢰구간 범위가 더 커질 수 밖에 없음

=> 그리하여 t분포를 사용

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- 구간추정 방법

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