[통계기초] 통계분석 : 가설검정 : 카이제곱(적합도, 독립성, 분산, 분산비)

* 자료출저 및 참고강의

패스트캠퍼스 올인원 패키지(금융공학/퀀트) 장순용 강사님 인터넷 강의

 

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* 목차

통계분석 : 가설검정 : 카이제곱(적합도, 독립성, 분산, 분산비)

핵심)

1. 카이제곱 확률분포

2. 도수분포표(단변량)와 분할표(이변량)

3. 단병량 카이제곱 검정 : 적합도 검정

4. 이변량 카이제곱 검정 : 독립성 검정

5. 카이제곱 검정 : 분산 검정 (모집단 하나일 경우 (분산 차이))

6. F 확률분포(카이제곱/카이제곱) 검정 : 분산비 검정 (모집단 둘 일 경우 (분산 차이))

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핵심)

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1. 연속확률분포 : 카이제곱 확률분포(Chi Square)

- 카이제곱분포 개요

k개의 표준정규분포를 따르는 독립적인 확률변수 Xi~N(0,1)가 있을 떄,

카이제곱 확률변수 Q는 이들의 제곱의 합

k는 '자유도'라고 함

- 표현

확률변수 Q가 카이제곱 확률분포를 따른다 : Q~X2(k)

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- 카이제곱 확률분포함수

카이제곱 확률분포함수는 구간 (0,+∞)에 대해서 정의

- 통계값

 

- 자유도 k의 역할

 

- 카이제곱 확률변수의 합

가정 : 확률변수 𝑄1와 𝑄2가 서로 독립이고, 카이제곱 확률분포를 따른다.

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2. 도수분포표(단변량)와 분할표

1) 도수분포표 (Frequency table)

도수분포표는 한 개의 명목형(범주형) 변수가 있을 때 유형의 도수(거듭된 횟수)를 집계한 표

상대도수분포표는 도수의 상대적인 비율을 나타냄

연속형 변수를 사용하느 경우에는 구간을 설정해서 명목형 변수와 비슷하게 만듬

변수의 구간은 계급

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2) 분할표 (Contingency table)

분할표는 두 개의 명목형(범주형) 변수의 도수를 정리한 표

분할표에서 도수분포표를 쉽게 구할 수 있음

​	남	여	합계
A반	40	60	100
B반	30	50	80
합계	70	110	180

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3. 단변량 카이제곱검정(Person's Chi squared test), 적합도 검정

1) 개요

목적 : 도수분포와 모형과의 차이 여부를 밝히기 위해서 단변량 카이제곱검정 실시

적합도 검정 (goodness of fit test) 라고 부름.

두개의 유형만 있는 경우 -> 비율검정 (proportion test) 적용

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2) 가설설립

H0(귀무가설) : 도수분포가 제시된 모형과 다르지 않음.

H1(대립가설) : 도수분포가 제시된 모형과 다름.

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3) 가설검정 : 검정통계량

E(i) = np(i) : 모형이 제시하는 수치

O(i) : 실제 측정된 값

검정통계량은 자유도가 k-1인 카이제곱 분포를 따름

O(i)의 합은 n과 같다는 제약조건 있음

제약조건은 자유도를 감소시킴 : k-1

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4. 이변량 카이제곱검정(Chi squared test in two way table), 독립성 검정

1) 개요

목적 : 분할표를 사용해서 두 변수 사이의 독립성을 검정

독립성 검정 (independence test)라고 부름

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2) 가설설립

H0(귀무가설) : 두 명목형 변수느 독립적

H1(대립가설) : 두 명목형 변수는 독립적이지 않음.

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3) 가설검정 : 검정통계량

r = 행의 수

c = 열의 수

자유도가 (r-1)x(c-1)인 카이제곱 분포를 따름.

행 방향의 합과 열 방향의 합은 고정. 이것은 제약 조건

제약 조건은 자유도를 감소시킴

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4) 필요성

​	남	여	합계
A반	40	60	100
B반	30	50	80
합계	70	110	180

반의 확률만 독립적으로 생각해보면

p(A) = 100/180

p(B) = 80/180

성별의 확률만 독립적으로 생각해보면

p(남) = 70/180

p(여) = 110/180

=>

만약에 성별과 반이 서로 독립적인 상황이라면 다음과 같이 인수분해 가능

p(반, 성별) = p(반) x p(성별)

N(반, 성별) = p(반) x p(성별) x N(tot)

= E(ij) : 변수가 독립인 경우의 기대값

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그러므로 기대값 E(ij)를 실제 측정한 값 Oij와 비교하여 검정할 필요 있음.

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5. 카이제곱 검정 : 분산 검정, 모집단이 하나일 경우

1) 가설수립

평균에 대해 어느 정도의 산포가 나타나는지를 살펴보는 가설검증이다.

H0 : σ2 = σ02

H1 : σ2 != σ02 (양측검정)

H1 : σ2 < σ02 혹은 σ2 > σ02 (단측검정)

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2) 가설검정 방법 : 검정통계량

-> 카이제곱(n-1)을 따른다. n은 표본크기

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3) 추정방법(신뢰구간)

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6. F 확률분포 검정 : 분산비 검정, 모집단이 둘 일 경우

1) 가설수립

정규분포를 따르는 모집단이 두 개 있고, 이들의 분산을 비교검정

H0 : 모분산 사이에는 차이가 없음

H1 : 모분산 사이에는 차이가 있음

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2) 가설검정 방법 : 검정통계량

- F 검정

​* 카이제곱/카이제곱 => F 확률분포

- F 확률분포 표현

확룔변수 X가 F 확률분포를 따른다. : X~F(n(1)-1,n(2)-1)

X~F(d(1), d(2))

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- 카이제곱/카이제곱 => F분포

=> 분산은 -> 카이제곱

​d1은 분자의 자유도읜 n(1)-1

d2는 분모의 자유도인 n(2)-1

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