[통계기초] 확률변수와 확률분포함수 : 연속확률

* 자료출저 및 참고강의

패스트캠퍼스 올인원 패키지(금융공학/퀀트) 장순용 강사님 인터넷 강의

명지대 산업경영공학과 박윤선 교수님 통계학개론 강의

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*목차

1. 연속확률

2. 연속확률분포 : 연속균등분포(Uniform distribution)

3. 연속확률분포 : 정규확률분포

4. 연속확률분포 : 표준정규확률분포

5. 연속확률분포 : 지수 확률분포(Exponential)

6. 연속확률분포 : 카이제곱분포(Chi Square)

7. 연속확률분포 : 스튜던트 t 확률분포 (Student t)

8. 연속확률분포 : F 확률분포

 

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1. 연속확률

- 연속확률변수 (continuous random variable)

셀 수 없는(무한대) 가지수의 값을 가지는 확률변수

어떤 실선 구간에 있는 점들에 대응하는 무한히 많은 값들을 부여

ex) 신장, 높이, 무게, 제품수명, 실험에서의 에러

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- 연속확률변수 특징

확률은 구간에 대해서 정의.

즉 P(X=x0)와 같이 특정 위치에 대한 확률은 의미가 없고,

P(x1<=X<=x2)와 같이 X가 어느 구간에 있을 확률이 의미가 있음.

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- 연속확률밀도(연속확률분포)

 

이 부드러운 곡선이 연속확률변수의 확률분포.

연속확률변수는 실선 위의 무수히 많은 값들 중 임의의 값을 취할 수 있음.

확률의 밀도(density)를 확률변수 X에 대한 확률분포(probaility distribution)

또는 확률밀도함수(probaility density function)이라고 하며, 수학적 기호 f(x)로 표기.

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이산확률분포함수와는 다르게 이것 자체만으로는 확률의 의미가 없음.

연속확률밀도를 사용하여 연속확률변수의 값이 특정 구간에 속할 확률을 표현 가능.

연속 확률분포함수 또는 확률밀도함수를 f(x)와 같이 표기하여 구간의 확률 P(x)와는 구분

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- 연속확률밀도 특징

 

 

1) f(x0)에는 확률의 의미가 없음.

2) P(x1 <= X <= x2)와 같이 X가 어느 구간에 있을 확률이 의미가 있음.

3) 0 <= f(x)

4) f(x)가 정의되어 있는 구간에서 f(x) 아래의 총 면적은 1과 같아야 함.

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2. 연속확률분포 : 연속균등분포(Uniform distribution)

- 연속균등분포 개요

연속 균등확률분포함수는 구간 [a,b]에 대해 정의.

이외의 구간에서는 f(x) = 0 이다.

확률밀도가 균등하기 때문에 확률은 구간 [x1,x2]의 폭에 비례.

​- 표현

확률변수 X가 연속균등확률분포를 따른다 : X~Unif(a.b)

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- 통계값

 

- 연속균등분포의 누적확률 (Cumulative Distribution Function, CDF)

연속균등분포의 누적확률 𝐶𝐷𝐹(𝑥)는 구간 (−∞,𝑥] 에서 𝑓(𝑥) 아래의 면적과 같음

즉, 𝐶𝐷𝐹(𝑥)=𝑃(−∞<𝑋≤𝑥)

CDF(x)는 x가 증가하면 1로 수렴.

- 예시 문제

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3. 연속확률분포 : 정규확률분포

- 정규분포함수

정규분포함수는 구간 (−∞,+∞)에 대해서 정의

 

- 통계값

평균 : μ

분산 : 𝜎2

표준편차 : 𝜎

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- 표현

확률변수 X가 정규확률분포를 따른다 : X~N(μ,𝜎2)

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- 분포의 모양

=> 모양은 평균과 분산에 의하여 결정

1) 평균

2) 분산

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- 정규 확률변수의 합

가정 : 확률변수 X와 Y가 서로 독립이고, 모두 정규확률분포를 따른다.

 

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- 정규분포의 누적확률 (Cumulative Distribution Function, CDF)

정규분포의 누적확률 𝐶𝐷𝐹(𝑥)는 구간 (−∞,𝑥] 에서 𝑓(𝑥) 아래의 면적과 같음.

즉, 𝐶𝐷𝐹(𝑥)=𝑃(−∞<𝑋≤𝑥)

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4. 연속확률분포 : 표준정규확률분포

- 표준정규분포함수

정규분포함수는 구간 (−∞,+∞)에 대해서 정의

 

- 통계값

평균 : 0

분산 : 1

표준편차 : 1

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- 표현

확률변수 X가 표준정규확률분포를 따른다 : X~N(0,1)

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- 표준화

1) 표준화 목적

정규확률변수 X가 구간 a에서 b 사이에 속할 확률을 구하기 위해서

a와 b 사이의 정규곡선 아래 면적을 구해야 함.

모든 곡선들에 대한 별도의 표를 만들 수 없기 때문에, 모든 정규분포들에 대하여

같은 표를 사용할 수 있도록 표준화 과정 사용

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2) 표준화 방법

확률변수 X가 정규분포를 따르는 경우 𝑋~𝑁(𝜇,𝜎2),

아래의 방식으로 X를 표준정규 확률변수로 변환.

그러면 𝑍~𝑁(0,1)

이것을 “표준화”라고 함.

즉 X -> Z로 변환

반대로 표준정규 확률변수 Z를 정규분포 𝑁(𝜇,𝜎2)를 따르는 확률변수로 변환도 가능.

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- 표준정규분포 특징

x=𝜇 일 때, z=0

z=0에 대하여 대칭

곡선의 왼쪾에 있는 z값 음수

곡선의 오른쪽에 있는 z값 양수

분포의 총 면적은 1

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- 표준정규분포의 분위수 (Quantile of Standard Normal)

분위수 또는 백분위수는 신뢰구간 계산에 필요.

Za라고 표기하고 우측 꼬리의 면적이 α와 같은 변수값을 의미.

- 예시 문제

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5. 연속확률분포 : 지수 확률분포(Exponential)

- 지수 확률분포함수

푸아송 사건 사이의 거리(시간)을 확률로 모델링하는 함수.

 

x는 양수(x>=0)

λ는 유일한 파라미터이고 양의 수치여야 함.

보통 1/λ는 시간의 의미.

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- 표현

확률변수 X가 지수확률분포를 따른다 : X~Exp(λ)

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- 통계값

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- λ의 역할​

 

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- 지수분포의 누적확률 (Cumulative Distribution Function, CDF)

CDF(x)는 x가 증가하면 1로 수렴.

- 예시 문제

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6. 연속확률분포 : 카이제곱분포(Chi Square)

- 카이제곱분포 개요

k개의 표준정규분포를 따르는 독립적인 확률변수 Xi~N(0,1)가 있을 떄,

카이제곱 확률변수 Q는 이들의 제곱의 합

k는 '자유도'라고 함

- 표현​

확률변수 Q가 카이제곱 확률분포를 따른다 : Q~X2(k)

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- 카이제곱 확률분포함수

카이제곱 확률분포함수는 구간 (0,+∞)에 대해서 정의

- 통계값

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- 자유도 k의 역할

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- 카이제곱 확률변수의 합

가정 : 확률변수 𝑄1와 𝑄2가 서로 독립이고, 카이제곱 확률분포를 따른다.

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7. 연속확률분포 : 스튜던트 t 확률분포 (Student t)

- 스튜던트 t 확률분포 개요

Q ~ 𝜒2(v)이고 𝑍 ~ 𝑁(0,1)일때,

v는 카이제곱 확률변수의 '자유도'

자유도 v가 커질수록 스튜던트 t는 표준정규분포로 수렴.

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- 표현

확률변수 T가 스튜던트 t 확률분포를 따른다 : T~t(v)

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- 스튜던트 t 확률분포함수

스튜던트 t 확률분포함수는 구간 (−∞,+∞)에 대해서 정의

- 통계값

v>2일 경우에만

- 스튜던트 t 확률분포 특징

1) 스튜던트 t 분포함수는 통계에서 신뢰구간을 계산하는데 매우 중요한 역할을 함.

2) 표본에서 추출한 분산이 모분산과 크게 다를때 (표본의 크기가 작을 때),

     표준정규분포의 분위수 대신에 스튜던트 t 분포의 분위수를 사용해서 신뢰구간의 하한과 상한을 계산한다.

3) 표본의 크기가 n일때 자유도는 𝜈=𝑛−1이다.

4) 표본의 크기가 커진다는 것은 자유도가 증가한다는 것과 같은 의미이고,

이때 스튜던트 t는 표준정규분포에 수렴하게 되니 표준정규분포의 분위수나 스튜던트 t의 분위수 큰 차이가 없게 된다.

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- 자유도 v의 역할​

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8. 연속확률분포 : F 확률분포

- F 확률분포 개요

𝑄1 ~ 𝜒2(𝑑1)이고 𝑄2 ~ 𝜒2(𝑑2)일때,

𝑑1와 𝑑2는 카이제곱 확률변수의 '자유도'

- 표현

확률변수 X가 F 확률분포를 따른다 : 𝑋~ 𝐹(𝑑1,𝑑2)

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- F 확률분포 특징

1) F 검정, 분산분석 (ANOVA) 등 활용.

2) 자유도 𝑑2가 커질수록 F분포는 카이제곱 𝑄1/𝑑1 로 수렴

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- 통계값

평균 d2>2일 경우

분산 d2>4일 경우

최빈값 d1>2일 경우

- 자유도 d1,d2의 역할​

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